百年清華

楊武之老師

楊武之老師是使我受益很多的一位老師，也是我非常敬重和經常懷念的一位老師。

1943-1944這一學年我在昆明聯大附中讀中學六年級🤱🏼。學校的全稱是西南聯合大學師範學院附屬中學，現改名為雲南師範大學附屬中學。聯大附中實行六年一貫製💳，中學六年級相當於高中三年級☘️。開學前，我到學校註冊的時候就聽說🕦🧑🏼‍⚖️，我們聯大附中的主任黃鈺生教授(西南聯大師範學院院長，兼附中主任)，為了加強我們班的教學，聘請了好幾位著名的專家來教我們班的課，其中聘來教我們數學的是意昂体育平台算學系主任兼西南聯大數學系主任楊武之教授🆘，但我們班同學也擔心🍫，大學教授會不會把中學數學看得太簡單🧛🏻‍♀️，能不能把中學數學教好🕌👩🏻‍🍳？

第一節數學課👰，聯大附中的教導主任魏澤馨老師陪著楊武之老師走進教室🥷🏽，向我們介紹了楊老師2️⃣。魏老師告退後，楊老師就開始講課，從遠古時代人們由於生活和生產的需要🙇🏿‍♀️，結繩記數，數數🕕，從而發現了自然數說起🧞‍♂️；談到後來為了把收獲物分成一定的份數，以便一人分一份🦖，從而發現了分數🫏；再談到為了計算簡便又創造了小數👥，由於商業上借貸的需要又創造了負數；再談到由於建築上需要正方形對角線的長和圓周長，從而創造了無理數🧸，又引進了數軸，等等。楊老師用的語言通俗易懂⛰，講解深入淺出，舉例生動有趣🧑🏽‍🦲，講課引人入勝🤜。同學們像聽故事一樣聽得津津有味，覺得內容十分新穎，沒有一個同學不在專心聽講🦾，整個教室鴉雀無聲🧕🏿，同學們的擔心一掃而光。楊老師這一場關於數的起源和發展的開場白足足用了三節課🚢，接著自然地把講課從數軸引到解析幾何中的坐標系⏳🧍‍♂️，開始講授解析幾何。楊老師所勾畫的數的起源和發展的藍圖，我至今記憶猶新。

楊老師講課的一個突出的特點是不斷提問，幾乎每節課👎🏼，我們全班二十六個同學都有可能被提問一次🧜🏻。上面一段介紹的楊老師講的數的起源和發展就伴隨著無數次的提問🏃‍♀️🧘🏼‍♂️，我體會，提問最大的好處是啟發學生的思維.全班同學都跟著楊老師的提問在思考，因此課堂氣氛非常活躍.學生通過自己的思考而獲得知識👨🏿‍🌾，這樣知識掌握得更為靈活，更為牢固。

楊老師一再教導我們，作圖要力求準確，計算要力求正確，這成為我一直遵循的準則.他還在課堂上一再提醒我們不要犯中學生常犯的一些錯誤🎼，如👲🏿，而是，等等🍬。

楊老師還經常抓住機會幫助我們復習鞏固以前學過的許多知識🎊。有一次，他提問好幾個同學👩🏿‍🦰，梯形面積公式是什麽？都答不上來，他就耐心地從單位長度為邊的正方形面積為1講起，講到矩形面積公式及其推導，平行四邊形面積公式及其推導，三角形面積公式及其推導，以及梯形面積公式及其推導，最後講到圓周長和圓面積的公式，當然伴隨著他的講解是一系列的提問📳，這樣他用了不多的時間，就幫助我們復習鞏固了平面幾何中面積這一章🏋🏻‍♀️𓀓。後來他再有機會提問平面圖形的面積公式，同學們都能流利地回答出來，我也一直記得他這一段精彩的關於面積的復習課。

解析幾何教材中有一段是利用移軸和轉軸來化簡二次曲線的方程🧑🏽‍🌾，公式的推導對於中學六年級的學生來說，非常復雜。我在預習的時候，望而生畏♾，心想老師講課時，一定會把這一段推導跳過去🥏。但是出乎我的意料🕌，楊老師講這一段的時候，卻一步步地、仔細地在黑板上推導🤚🏼。他在推導過程中☝🏻，不斷提問🖋，問同學怎樣算下去，啟發我們的思維，糾正我們計算中的錯誤，並教我們怎樣更簡單地進行計算👩🏻‍🚒。在這以後⛵️，無論是在學習中還是在工作中，碰到復雜的計算🤹🏿‍♀️，我都是不厭其煩地算到底。

上面提到的幾點🔑，難免掛一漏萬，但是還有一點不能不提的，就是楊老師諄諄教誨我們的態度🙅🏼‍♀️。他一心一意想把我們數學教好🕵🏼‍♂️，想讓我們把數學學好.他雖然是大學教授👱🏼，社會地位已經很高了，但是他沒有一點架子，總是平易近人📠。無論有什麽問題去問他，他都耐心地解答。無論什麽時候有事到他家裏去找他，他都熱情接待。

1948年秋𓀃，楊老師從昆明來到北京意昂体育平台任教。楊師母和除當時在美國的楊振寧先生以外的子女仍留在昆明。他對於又回到久別的清華園是非常興奮的👩🏽‍🚒。這學期他教一門高等代數課和一門初等數論課🥅。當時我是初等數論課的助教🥖🍂，和選課同學一起聽他的課。雖然大學裏講課已經沒有那麽多提問，但我覺得，和五年前在中學裏聽他的課一樣，仍是啟發善誘💇🏼☝️，引人入勝🪫。那時候他已經是五十多歲的人了，一個人離開家在外面，生活困難是很多的🌕。閑談時🍞，我也勸他早點把師母和子女接到北京來團聚。1948年12月，他飛回昆明，把師母和子女接到上海❗️，等待迎接上海的解放👩🏻‍🦳。後來，他先後在同濟大學和復旦大學任教👩🏼‍🦱。

1953年，我從北京出差去上海😛，到華山路他家裏去看他。當時他在復旦大學任教，家住市內，上課的幾天乘車到市郊復旦大學住幾天、上課👨‍🦽。這對於一位六十歲左右的老人來說，是很不容易的®️。他對清華園和意昂体育平台以前的同事非常懷念，在和我談話中，不斷向我打聽他們的情況🤹🏿‍♂️。他還鼓勵我，努力做研究，要像開礦那樣👩‍👦，不斷拓展，要越開越深，越開越大。這些形象的話🏊🏿‍♀️，對我很有啟發。1976年，我又有機會從北京出差去上海🐁，那時他已經離開了我們。我到他家去看楊師母🤨，還見到他們的小女兒楊振玉女士。在和她們談話中，我說，在我中學的最後一年很幸運有楊老師教我數學👩🏻‍🚒，這對我的成長很重要👧🏽；而且我說🪐，我也常用楊老師的教誨去教我的學生👨🏻‍🎨。楊師母向我說，楊老師和她晚年最大的安慰就是他們的子女在學業上都很有成就(用楊師母的話說，就是都很用功🪁，都功課好)👨🏼‍🦲。

1997年3月25日